九年级数学下期中考试试题与答案
数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力、逻辑能力的一门学科
中考试试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如果“盈利5%”记作+5%，那么—3%表示( * ).
A.亏损3% B.亏损2% C.盈利3% D.盈利2%
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( * ).
A. B. C. D.
3.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( * ).
A.15 B.10 C.3 D.2
4.下列运算正确的是( * ).
A. B.
C. D.
5.如图1是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是( * ).
A. B. C. D.
6.方程 的解是( * ).
A. B. C. D.
7.某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是( * ).
A.5、6、5 B.5、5、6 C.6、5、6 D.5、6、6
8.若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( * ).
A. B. C. D. 且
9.如图2，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，连接DE，则下列说法不一定正确的是( * ).
A.△ADE是等边三角形 B.A B∥CE
C.∠BAD=∠DEC D.AC=CD+CE
10.已知二次函数 的图象如图3所示，则反比例函数 与一次函数 的图象可能是( * ).
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11.分解因式： = * .
12.近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65 000 000人脱贫.将65 000 000用科学记数法表示为 * .
13.若实数 、 满足 ，则 * .
14.如图4， 中， 是 的垂直平分线， 交 于点 ，连接BE，若∠C=40°，则∠AEB= * .
15.如图5，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC= ，则劣弧 的长是 * .(结果保留π)
16. 如图6，E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AE=DF，AF、BE相交于点P，设AB= ，AE= ，则下列结论：①△ABE≌△DAF;②AF⊥BE;
③ ;④若 ，连接BF，则tan∠EBF= .其中正确的结论
是 * .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题 ，满分102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
解不等式组：
18.(本小题满分9分)
如图7，点C、F、E、B在一条直线上，CD=BA，CE=BF，DF= AE，求证：∠B=∠C.
19.(本小题满分10分)
某校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的不完整统计表，根据表中信息，回答下列问题：
喜爱的电视节目类型 人数 频率
新闻 4 0.08
体育 / /
动画 15 /
娱乐 18 0.36
戏曲 / 0.06
(1)本次共调查了__* __名学生，若将各类电视节目喜爱的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“喜爱动画”对应扇形的圆心角度数是__* __;
(2)该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校“喜爱体育”节目的学生人数;
(3)在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有 人喜爱新闻节目，若从这 人中随机抽取 人去参加“新闻小记者”培训，求抽取的 人来自不同班级的概率.
20.(本小题满分10分)
如图8，□ABCD中，AB=2，BC= .
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BE，交AD于点E;(保留作图痕迹，不写作法)
(2)记 ，先化简 ，再求 的值.
21.(本小题满分12分)
如图9，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，现计划开凿隧道使A、C两地直线贯通，经测量得：B地在A地的北偏东67°方向，距离A地280km，C地在B地南偏东的30°方向.
(1)求B地到直线AC的距离;
(2)求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短多少?
(本题结果都精确到0.1km)
22.(本小题满分12分)
如图10，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AD的中点.
(1)若AC=10，BD=24，求菱形ABCD的周长;
(2)连接OE、OF，若AB⊥BC，则四边形AEOF是什么特殊四边形?请说明理由.
23.(本小题满分12分)
已知反比例函数 的图象经过点A，且点A到x轴的距离是4.
(1) 求点A的坐标;
(2) 点 为坐标原点，点 是x轴正半轴上一点，当 时，求直线AB的解析式.
24.(本小题满分14分)
如图11，⊙O是△ABC的内切圆.
(1)若∠A=60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，
① 求∠BOC的度数;
② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论;
(2)若AB=AC=10，sin∠ABC= ，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线 .
(1)求证：抛物线与 轴必定有公共点;
(2)若P( ，y1)，Q(-2，y2)是抛物线上的两点，且y1 y2，求 的取值范围;
(3)设抛物线与x轴交于点 、 ，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且 ，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，
记△ACE的面积为S1，△DCE的面积为S2，求 是否有最值?若有，求出该最值;若没有，请说明理由.
中考试试题答案
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，满分30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B D D C C A
二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，满分18分)
11. 12. 13.
14. 15. 16.①②③④
评分细则：第16题写对一个或二个给1分，写对三个给2分，全部写对给3分。
三、解答题(本大题共9小题，满分102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.解：
由①得x>-3，……………………3分
由②得x≤1. ……………………6分
不等式组的解集在数轴上表示为：
……………8分
∴原不等式组的解集为 -3
18.证明：∵CE=BF， ∴CF=BE ………………4分
在△BAE与 △CDF中
∴ △BAE≌△CDF(SSS) …………7分
∴ ∠B=∠C ………… 9分
19.解：(1)50，108°………… 4分
(2)2000× =400人………… 6分
(3)设甲班的两人为甲1、甲2，乙班的两人为乙1、乙2，画树状图如下：
………… 8分
从树状图可以看出，共有12种等可能的结果，其中抽取的 人来自不同班级的结果有8种 ………… 9分
∴ 抽取的 人来自不同班级的概率是 ………… 10分
20.(1)解：如图，BE为所求作的角平分线 …………3分
(2) 在□ABCD中， 得 AD∥BC
∴ ∠AEB=∠EBC…………4分
又 ∠ABE=∠EBC
∴ ∠AEB=∠ABE
∴ AB=AE=
∴ DE= …………5分
…………9分
当 时， …………10分
21.(1)解：如图，作BD⊥AC于点D，………1分
在Rt△ABD中，∠ABD=67°， AB=280
∵ ，
∴ ………5分
答：B地到直线AC的距离约为109.4km.
(2) ∵
∴ ………7分
在Rt△BCD中，∠CBD=30°
，∴ ………9分
∴ ………10分 ………11分
∴
答：隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短85.4km.………12分
22.解： (1)∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD…………3分
∵AC=10，BD=24
∴ AO=5，BO=12 …………4分
∴AB=13 …………5分
∴菱形ABCD的周长是52 …………6分
(2)若AB⊥BC，则四边形AEOF是正方形， 理由如下：…………7分
∵E、O分别是AB、BD中点，∴OE∥AD， 即：OE∥AF
同理可证：OF∥AE
∴四边形AEOF是平行四边形…………9分
∵AB=AD，∴AE=AF
∴平行四边形AEOF是菱形 …………11分
∵AB⊥BC，∴∠BAD=90°，所以菱形AEOF是正方形…………12分
23.解：(1)∵点A到x轴的距离是4
∴点A的纵坐标是 ……………2分
把 代入 得：
∴ 点A的坐标是 或 ……………4分
(2)由(1)可得： …………5分
当 时，
∴点B的坐标是 …………6分
设直线AB的解析式是 ……………7分
把A 、B 代入 得：
解得： ∴ 直线AB的解析式是 …………9分
把A 、B 代入 得：
解得： ∴ 直线AB的解析式是 …………12分
综上所述：直线AB的解析式 是 或
评分细则：若只写对一种情况，本小题给6分。
24.解：(1)①∵∠A=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°…………1分
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠DBC+∠ECB=60°…………2分
∴∠BOC=120°…………3分
②BC= BE+CD…………4分
解法1：作∠BOC的平分线OF交BC于点F，
∵∠BOC=120°
∴∠BOE=60°，∠BOF=60°
在△BOE与 △BOF中
∴ △BOE≌△BOF(ASA)
∴ BE=BF …………6分
同理可证：CD=CF …………8分
∴ BC= BE+CD
解法2：在BC上截取BF=BE，
可证 △BOE≌△BOF(SAS)…………5分
∴∠BOE=∠BOF
∵∠BOC=120° ∴∠BOE=∠COD =∠COF=60°
可证：△COD≌△COF(ASA)…………7分
∴ CD=CF …………8分
∴ BC= BE+CD
(2)如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M
∵⊙O 是△ABC的内切圆 ∴ AO是∠BAC的平分线，
又 AB=AC， ∴ AN⊥BC
∵AB=AC=10，sin∠ABC= ∴ AN=8，BN=6 …………9分
由切线长定理得：BN=BE=6，AE=AD=4，
∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，
∴△AOE∽△ABN ∴ ， 即
解得 …………10分
∴
∵ ，∠BAC=∠BAC
∴△AED∽△ABC
∴ ， ………12分
以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形
∴∠DEF=90°
∴ 是⊙O 的直径…………13分
∴
∴平移的距离是 …………14分
25.解：(1)解法1：令 得
∴ ………1分
∴ ………2分
无论 取何值，
∴ 抛物线与 轴必定有公共点 …………3分
解法2：∵
∴ 抛物线的顶点坐标是 ， …………1分
无论 取何值， ≤0
∴ 抛物线的顶点坐标在第四象限或 轴正半轴上…………2分
∵ 抛物线的开口向上
∴ 抛物线与 轴必定有公共点 …………3分
解法3：令 即
根据公式法得： …………1分
∴ ， …………2分
当 时， ， 当 时， ，
∵ 抛物线的开口向上
∴ 无论 取何值，抛物线与 轴必定有公共点 …………3分
(2)∵ ∴抛物线的对称轴是 …………4分
当点P在对称轴的左侧时， 随 的增大而减小，
∵y1 y2 ∴ …………5分
当点P在对称轴的右侧时， 随 的增大而增大，
Q(-2，y2)关于对称轴的对称点是(3，y2)…………6分
∵y1 y2 ∴ …………7分
综上所述： 或
(3)解法1：由(1)中解法3可得： ，
∵ ∴ ，解得 或
∴ …………9分
∴ 、 ，
∴ 直线BC的解析式是 …………10分
设点A到直线BC的距离是 ，点D到直线BC的距离是 ，
△ACE的面积S1 ，△DCE的面积S2
∴ ， ……………11分
∴ 求 的最值转化为求 的最值
设过点D与直线BC平行的直线解析式为
当点D在直线BC下方的抛物线上运动时， 无最小值，仅当直线 与抛物线 只有一个公共点时， 有最大值……………12分
即方程组 有两个相等的实数根
∴ ， ，
∴ ，此时 ………13分
∴ 没有最小值; 有最大值是 …………14分
解法2：∵点 在点 的左侧，与y轴负半轴交于点C， ∴ ，
∵ ∴ ，又
解得： ， ，∴ …………9分
可得： 、 ，
∴直线BC的解析式是 …………10分
设点C到直线AD的距离是
△ACE的面积S1 ，△DCE的面积S2
∴ ……………11分
分别过点A、D作y轴的平行线交BC于点N、点M
∵AN//DM ∴ △DME∽△ANE， ∴
∴ ， ……………12分
∴ ……………13分
∵ 当 时， 没有最小值， 有最大值是 ……………14分
解法3：∵ ∴
又∵ 抛物线的对称轴是 ，即点 、 到对称轴的距离都是
∴ 、 (以下同解法1或解法2)
