九年级数学下期中试卷与答案

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     也许让学生体验到数学源于生活、用于生活的同时,更应该让学生体会到数学高于生活,体会到数学可以带动社会的发展,科学的进步,带动生活质量的提高,这样更能激发学生学好数学

  期中测试题

  一、选择题(每小题4分,共48分)

  1.(4分)与2和为0的数是(  )

  A.﹣2 B.2 C. D.﹣

  2.(4分)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨,用科学记数法表示是(  )

  A.0.675×105 B.67.5×103 C.6.75×104 D.6.75×105

  3.(4分)一个几何体的三视图中有两个为矩形,则这个几何体不可能是(  )

  A.三棱柱 B.四棱柱 C.圆柱 D.球

  4.(4分)已知点A(2,y1),B(1,y2),C(﹣1,y3)在反比例函数y= 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(  )

  A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2

  5.(4分)某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为(  )

  A. B. C. D.

  6.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则tanB的值为(  )

  A. B. C. D.

  7.(4分)分式方程 = 的根为(  )

  A.1 B.2 C.﹣3 D.3

  8.(4分)如图,A、B两点在双曲线y= 上,分别经过A、B两点向轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2=(  )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  9.(4分)如图,⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H,点P是弧HG上的一点,则tan∠EPF的值是(  )

  A.1 B.2 C.0.5 D.1.5

  10.(4分)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为(  )

  A.18 B.20 C.22 D.24

  11.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  )

  A. B. C. D.

  12.(4分)因为sin30°= ,sin210°= ,所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ,sin225°= ,所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,由此可知:sin240°=(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(每小题4分,共24分)

  13.(4分)分解因式ab2﹣a2b的结果为   .

  14.(4分)一个多边形的内角和是它外角和的2倍,则它的边数是   .

  15.(4分)不等式2x﹣1 的解集为   .

  16.(4分)函数y= 的自变量x的取值范围是   .

  17.(4分)如图,要使△ABC与△DBA相似,则只需添加一个适当的条件是   (填一个即可)

  18.(4分)如图,⊙O是正△ABC的外接圆,点D是弧AC上一点,则∠BDC的度数是   度.

  三、解答题(每小题8分,共32分)

  19.(8分)(2017﹣π)0+(﹣ )﹣2﹣| |﹣3tan30°.

  20.(8分)先化简,再求值:( ﹣ ) ,其中x是方程x2﹣3x+2=0的解.

  21.(8分)已知如图,点M是双曲线y= 上一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,若S△MON=2,求该双曲线的解析式.

  22.(8分)如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.

  (1)求改直的公路AB的长(精确到0.1);

  (2)问公路改直后比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?

  四、解答题(每小题10分,共20分)

  23.(10分)为了培养学生的兴趣,我市某小学决定再开设A.舞蹈,B.音乐,C.绘画,D.书法四个兴趣班,为了解学生对这四个项目的兴趣爱好,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图1,2所示的统计图,且结合图中信息解答下列问题:

  (1)在这次调查中,共调查了多少名学生?

  (2)请将两幅统计图补充完整;

  (3)若本校一共有2000名学生,请估计喜欢“音乐”的人数;

  (4)若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生,2名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到相同性别的学生的概率.

  24.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长 线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.

  (1)求证:AB=BE;

  (2)若PA=2,cosB= ,求⊙O半径的长.

  五、解答题(每小题12分,共12分)

  25.(12分)如图,双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A(1,4),B(4,m).

  (1)求双曲线和直线的解析式;

  (2)求△AOB的面积;

  (3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围;

  (4)P为双曲线上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,求矩形PMON的最小周长.

  六、解答题(每小题14分,共14分)

  26.(14分)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,﹣3),直线y=﹣ x与BC边相交于D点.

  (1)求点D的坐标;

  (2)若抛物线y=ax2﹣ x经过点A,试确定此抛物线的表达式;

  (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P 、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.

  期中测试题答案

  一、选择题(每小题4分,共48分)

  1.(4分)与2和为0的数是(  )

  A.﹣2 B.2 C. D.﹣

  【解答】解∵﹣2+2=0,

  ∴与2的和为0的数是﹣2;

  故选A.

  2.(4分)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨,用科学记数法表示是(  )

  A.0.675×105 B.67.5×103 C.6.75×104 D.6.75×105

  【解答】解:67500用科学记数法表示为:6.75×104.

  故选:C.

  3.(4分)一个几何体的三视图中有两个为矩形,则这个几何体不可能是(  )

  A.三棱柱 B.四棱柱 C.圆柱 D.球

  【解答】解:三棱柱的三视图中可能有两个为矩形,一个三角形;四棱柱的三视图中可能有两个为矩形,一个四边形;圆柱的三视图中有两个为矩形,一个圆;球的三视图都为圆.

  故选D.

  4.(4分)已知点A(2,y1),B(1,y2),C(﹣1,y3)在反比例函数y= 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(  )

  A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2

  【解答】解:∵点A(2,y1),B(1,y2),C(﹣1,y3)都在反比例函数y= 的图象上,

  ∴y1= =1;y2= =2;y3= =﹣2,

  ∵2>1>﹣2,

  ∴y2>y1>y3.

  故选B.

  5.(4分)某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为(  )

  A. B. C. D.

  【解答】解:抬头看信号灯时,是黄灯的概率为:

  5÷(30+25+5)

  =5÷60

  =

  故选:A.

  6.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则tanB的值为(  )

  A. B. C. D.

  【解答】解:∵sinA= ,

  ∴设BC=5x,AB=13x,

  则AC= =12x,

  故tan∠B= = .

  故选:D.

  7.(4分)分式方程 = 的根为(  )

  A.1 B.2 C.﹣3 D.3

  【解答】解:去分母得:x+3=3x﹣3,

  解得:x=3,

  经检验x=3是分式方程的解,

  故选D

  8.(4分)如图,A、B两点在双曲线y= 上,分别经过A、B两点向轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2=(  )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  【解答】解:∵点A、B是双曲线y= 上的点,分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,

  则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,

  ∴S1+S2=4+4﹣1×2=6.

  故选:D.

  9.(4分)如图,⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H,点P是弧HG上的一点,则tan∠EPF的值是(  )

  A.1 B.2 C.0.5 D.1.5

  【解答】解:连接HF,EG,FG,

  ∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H,

  ∴四边形AEOH是正方形,

  ∴FH⊥EG,

  ∵OG=OF,

  ∴∠OGF=45°,

  ∵∠EPF=∠OGF,

  ∴tan∠EPF=tan45°=1,

  故选A.

  10.(4分)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为(  )

  A.18 B.20 C.22 D.24

  【解答】解:∵矩形ABCD中,AB=5,AD=12,

  ∴BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°,OA=OC,

  ∴AC= =13,

  ∴OB=OA=OC= AC=6.5,

  ∵M是AD的中点,

  ∴OM= CD=2.5,AM= AD=6,

  ∴四边形ABOM的周长为:AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20.

  故选B.

  11.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  )

  A. B. C. D.

  【解答】解:∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,

  ∴△=4﹣4 (kb+1)>0,

  解得kb<0,

  A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;

  B.k>0,b< 0,即kb<0,故B正确;

  C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;

  D.k<0,b=0,即kb=0,故D不正确;

  故选:B.

  12.(4分)因为sin30°= ,sin210°= ,所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ,sin225°= ,所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,由此可知:sin240°=(  )

  A. B. C. D.

  【解答】解:∵当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,

  ∴sin240°=sin(180°+60°)= ﹣sin60°=﹣ .

  故选C.

  二、填空题(每小题4分,共24分)

  13.(4分)分解因式ab2﹣a2b的结果为 ab(3b﹣a) .

  【解答】解:ab2﹣a2b=ab(3b﹣a),

  故答案为:ab(3b﹣a).

  14.(4分)一个多边形的内角和是它外角和的2倍,则它的边数是 6 .

  【解答】解:设这个多边形的边数是n,

  根据题意得,(n﹣2)•180°=2×360°,

  解得n=6.

  答:这个多边形的边数是6.

  故答案为:6.

  15.(4分)不等式2x﹣1 的解集为 x≤1 .

  【解答】解:2x﹣1 ,

  去分母得:2(2x﹣1)≤3x﹣1,

  去括号得:4x﹣2≤3x﹣1,

  移项合并得:x≤1.

  16.(4分)函数y= 的自变量x的取值范围是 x≥1 .

  【解答】解:根据题意得,x﹣1≥0,

  解得x≥1.

  故答案为x≥1.

  17.(4分)如图,要使△ABC与△DBA相似,则只需添加一个适当的条件是 ∠C=∠BAD (填一个即可)

  【解答】解:∵∠B=∠B(公共角),

  ∴可添加:∠C=∠BAD.

  此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似.

  故答案可为:∠C=∠BAD.

  18.(4分)如图,⊙O是正△ABC的外接圆,点D是弧AC上一点,则∠BDC的度数是 60 度.

  【解答】解:∵△ABC是正三角形,

  ∴∠BAC=60°;

  由圆周角定理,得:∠BDC=∠A=60°.

  三、解答题(每小题8分,共32分)

  19.(8分)(2017﹣π)0+(﹣ )﹣2﹣| |﹣3tan30°.

  【解答】解:原式=1+9﹣(2﹣ )﹣3× ,

  =1+9﹣2+ ﹣ ,

  =8.

  20.(8分)先化简,再求值:( ﹣ ) ,其中x是方程x2﹣3x+2=0的解.

  【解答】解:( ﹣ )

  =

  =2﹣0.5x

  ∵x是方程x2﹣3x+2=0的解,

  ∴x=1或x=2,

  ∵x=2时,x﹣2=0,

  ∴x=1,

  ∴原式=2﹣0.5×1=1.5.

  21.(8分)已知如图,点M是双曲线y= 上一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,若S△MON=2,求该双曲线的解析式.

  【解答】解:∵MN垂直于x轴,

  ∴S△OMN= |k|,

  ∴ |k|=2,

  而k<0,

  ∴k=﹣4,

  ∴该双曲线的解析式为y=﹣ .

  22.(8分)如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.

  (1)求改直的公路AB的长(精确到0.1);

  (2)问公路改直后比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?

  【解答】解:(1)作CH⊥AB于H.

  ∵AC=10千米,∠CAB=25°,

  ∴在Rt△ACH中,CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23(千米),

  AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06(千米).

  ∵∠CBA=37°,

  ∴在Rt△BCH中,BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61(千米),

  ∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7(千米).

  ∴改直的公路AB的长14.7千米;

  (2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37 °≈7.03(千米),

  则AC+BC﹣AB=10+7.03﹣14.7≈2.3(千米).

  答:公路改直后比原来缩短了2.3千米.

  四、解答题(每小题10分,共20分)

  23.(10分)为了培养学生的兴趣,我市某小学决定再开设A.舞蹈,B.音乐,C.绘画,D.书法四个兴趣班,为了解学生对这四个项目的兴趣爱好,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图1,2所示的统计图,且结合图中信息解答下列问题:

  (1)在这次调查中,共调查了多少名学生?

  (2)请将两幅统计图补充完整;

  (3)若本校一共有2000名学生,请估计喜欢“音乐”的人数;

  (4)若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生,2名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到相同性别的学生的概率.

  【解答】解:(1)120÷40%=300(名),

  所以在这次调查中,共调查了300名学生;

  (2)B类学生人数=300﹣90﹣120﹣30=60(名),

  A类人数所占百分比= ×100%=30%;B类人数所占百分比= ×100%=20%;

  统计图为:

  (3)2000×20%=400(人),

  所以估计喜欢“音乐”的人数约为400人;

  (4)画树状图为:

  共有12种等可能的结果数,其中相同性别的学生的结果数为4,

  所以相同性别的学生的概率= = .

  24.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.

  (1)求证:AB=BE;

  (2)若PA=2,cosB= ,求⊙O半径的长.

  【解答】(1)证明:连接OD,

  ∵PD切⊙O于点D,

  ∴OD⊥PD,

  ∵BE⊥PC,

  ∴OD∥BE,

  ∴∠ADO=∠E,

  ∵OA=OD,

  ∴∠OAD=∠ADO,

  ∴∠OAD=∠E,

  ∴AB=BE;

  (2)解:由(1)知,OD∥BE,

  ∴∠POD=∠B,

  ∴cos∠POD=cosB= ,

  在Rt△POD中,cos∠POD= = ,

  ∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,

  ∴ ,

  ∴OA=3,

  ∴⊙O半径=3.

  五、解答题(每小题12分,共12分)

  25.(12分)如图,双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A(1,4),B(4,m).

  (1)求双曲线和直线的解析式;

  (2)求△AOB的面积;

  (3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围;

  (4)P为双曲线上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于 点N,求矩形PMON的最小周长.

  【解答】解:(1)把点A(1,4)代入双曲线y1= ,可得

  k=1×4=4,

  ∴双曲线的解析式为y= ;

  把B(4,m)代入反比例函数,可得

  4m=4,

  ∴m=1,

  ∴B(4,1),

  把A(1,4),B(4,1)代入直线解析式,可得

  ,

  解得 ,

  ∴直线解析式为y=﹣x+5.

  (2)如图,过A作AD⊥OC于D,过B作BE⊥OC于E,

  则△AOD的面积=△BOC的面积= ×4=2;

  ∴△AOB的面积

  =梯形ABED的面积+△AOD的面积﹣△BOC的面积

  =梯形ABED的面积

  = ×(1+4)(4﹣1)

  = ;

  (3)由图可得,当y1>y2时,自变量x的取值范围为:04;

  (4)设点P的坐标为(x, )(x>0),则

  PM= ,PN=x,

  ∴矩形PMON的周长=2(x+ )= ,

  ∵x>0,

  ∴当x=2时,矩形PMON的周长最小值为8.

  六、解答题(每小题14分,共14分)

  26.(14分)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,﹣3),直线y=﹣ x与BC边相交于D点.

  (1)求点D的坐标;

  (2)若抛物线y=ax2﹣ x经过点A,试确定此抛物线的表达式;

  (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.

  【解答】解:(1)∵直线y=﹣ x与BC边相交于D点,知D点纵坐标为﹣3,

  ∴代入直线得点D的坐标为(4,﹣3).(2分)

  (2)∵A(6,0)在抛物线上,代入抛物线的表达式得a= ,

  ∴y= x2﹣ x.(4分)

  (3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.

  ∵OA∥CB,

  ∴∠P1OM=∠CDO.

  ∵∠OP1 M=∠DCO=90°,

  ∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.(6分)

  ∵抛物线的对称轴x=3,

  ∴点P1的坐标为P1(3,0).(7分)

  过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.

  ∵对称轴平行于y轴,

  ∴∠P2MO=∠DOC.

  ∵∠P2OM=∠DCO=90°,

  ∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.(8分)

  ∴点P2也符合条件,∠OP2M=∠ODC.

  ∴P1O=CO=3,∠P2P1O=∠DCO=90°,

  ∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO.(9分)

  ∴P1P2=CD=4.

  ∵点P2在第一象限,

  ∴点P2的坐标为P2(3,4),

  ∴符合条件的点P有两个,分别是P1(3,0),P2(3,4).(11分)

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