定向思维水平分级评价标准细则（数学版）（试验稿）

　　长江不远千里能到达海洋，在于它的流向有很强的方向性，不论途中是平原，礁石还是峭壁都不能阻止江水汇入东海。解题也是如此，如果学生的思维有很强的定向性，纵使有些猜想，想法暂时是错误的，也不影响他找到正确的解题之路。河流的流向只是简单的重力作用，礁石，峭壁是很显然的矗立着。以下是小编分享给大家的关于写定向思维水平分级评价标准细则(数学版)，一起来看看吧!

　　能力分级细则：

　　一级水平：

　　•不能提出猜想;

　　•没有反思结论的意识，结论经常很离谱却不能发觉;

　　示例：

　　•仅能从事具体对象算术形式的简单推理。

　　示例：知道3*(4+5)=3*9=27

　　二级水平：

　　•能够提出猜想，但没有猜想的意识和习惯。

　　•不会猜想，没有任何提高猜想合理性的技巧，说不出猜想的理由，乱猜，瞎猜，不具备合理性。

　　•没有验证猜想正误的意识和能力。

　　•基本不具备演绎推理能力，思维逻辑性差。示例：

　　已知三角形ABC,D为AC边上一点，证明：AB+AC>BD+CD

　　证明：因为AB>BD,AC>CD，所以AB+AC>BD+CD

　　三级水平：

　　•有猜想的意识，有些猜想能说明猜想的理由，但猜想大多称不上合情推理;

　　•猜想多来源于静止的图，比如因为给的图上三角形像等腰三角形而猜两条线段相等。

　　•在一些简单情况下，能验证自己猜想是否正确。

　　•有时，能通过举反例的方式说明一些简单猜想是错误的：比如两个边长相等的正方形都可以通过平移重合是错误的，因为一个正方形旋转15度后，原来的正方形是不能仅通过平移重合的。

　　•具备基础的演绎推理能力，推理时，论据和论点存在因果关系，但可能因为忽视等价关系而使得证明或者计算出错，比如分式方程出现增根。

　　•有时会反思结论的合理性，能纠正一些明显不合理的答案，比如1千克=1吨。sinA=2。但由于对知识敏感度的欠缺，可能对诸如以下类型的错误难以发觉。示例：x2+y2的取值范围是(-1,3)，已知等腰三角形一边长为5，另一条边长为10，则第三条边长为5或10!

　　四级水平：

　　•会使用一些初级的手段增强猜想的合理性，猜想多属于合情推理，但也会在解决复杂问题时出现瞎猜的现象。

　　•能适当应用一些几何图形，函数图像思考代数问题，使得猜想更具有合理性，不过，有时考虑可能过于简单。

　　•猜想时会初步借鉴“扣其两端，而其义自见”的方式去思考命题。比如考虑线段的端点，多边形的顶点，考虑自变量很大的时候，很小的时候，考虑区间端点等等。

　　•能证明一些正确猜想，特别地，已经掌握了用数学归纳法证明正确猜想的一般步骤和方法，但是不容易想到数学归纳法。

　　•基本具备演绎推理能力，善于使用综合法于或者分析法中的一种进行推理，但多用证明给定题目的问题，而对于自己提出的猜想的正确性有时会缺乏推理的思路。

　　•会使用反证法证明或否定猜想的正确性，但仅限于矛盾比较明显的情形，不能进行复杂的反证推理。

　　•会反思结论的合理性，尚未形成习惯。类似于需要8.4辆车才能运走材料的错误答案不容易出现。但是会出现由于思维不严密带来的错误：比如，直线的斜率是否存在，数列通项递推时是否要n>1，等比数列有没有讨论q=1的情况，两边同时除以一个代数式，没有考虑代数式为0的情况等等。

　　五级水平：

　　•猜想能力有明显提高，最突出的体现在会对静止状态时在条件约束下对对象加以变动来提高猜想的合理性，能描述猜想的依据，猜想基本都属于合情推理。示例：

　　三角形ABC中是否一定有AB>BD?五级水平的同学受静止图形干扰较四级水平有明显降低，他们能够作这样的思考：如果三角形是以角A为直角的直角三角形，则显然BD>AB,这是因为他们在猜想时已经有了对静止的图形进行变换的想法和能力。

　　•对于代数问题，除了扣其两端，其义自见和结合图像以外，还初步学会了考虑对称性等较为高级的手段来增强猜想的合理性。

　　•能注意到结论与条件的联系，综合运用综合法和分析法进行演绎推理，并能在此基础上，思考一些简单的构造，来解决问题。

　　•在借鉴分析法的同时，有时能使用有利推理方式寻到问题解决的办法并完成证明。

　　•演绎推理时能把握好论据和论点之间到底是充分关系还是等价关系。

　　•初步具备动态思维能力，并能借此判断猜想的合理性，对于明显不合理的猜想能迅速否定。

　　•有初步应用不完全归纳的方法探寻规律，提出猜想并证明的意识。

　　•有反思结论的习惯，能够发现结论在静态时具有的不合理性，一般不会出现常见的错误或者疏漏。

　　六级水平：

　　•合情推理的可靠性较强，较五级最突出的提升在于合情推理正确的概率大大增加。即使猜想有些问题，大多是因为细节的困扰而非猜想的完全错误。

　　•有较好的对称性思维和应用对称猜想，证明命题的能力。

　　•敢于大胆地使用有利推理去突破命题的难点。

　　•经常熟练的综合使用“扣其两端，其义自见”和不完全归纳探寻规律等较高级的方式思考命题，提出猜想。

　　•能较为及时地肯定猜想是正确的或者错误猜想，从而有利于问题的定向解决。

　　•命题证明比较简单时，能够无纸化证明。

　　•会通过对条件和结论的适当变形，捕捉条件和结论的联系，综合运用综合法和分析法进行推理，有时能做出有技巧的构造。

　　•经常会使用数学归纳法证明猜想或问题的正确性，且有时归纳具有技巧性。

　　•熟练使用反证法思考问题，知道如何说明矛盾。

　　•有一定数感，能感觉到一些证明过程中的不和谐而去寻找原因从而找出疏漏，但又常常说不出问题。

　　•证明中容易出现循环论证类型的错误或者如果循环论证了不容易认识到。

　　•有反思结论的习惯，结论基本都具有一定程度的合理性。

　　七级水平：

　　•猜想时数形结合，以直观指导思维，且对称性思维优秀，能够通过构造把不具有对称形式的式子转化为对称形式的式子去思考的意识和能力。

　　•对于证明中出现的不和谐或者不严格的地方有较高的警觉性，善于找出并加以完善，因此猜想有时可能比较粗，但最终的证明多是严格的。

　　•有成熟的综合应用不完全归纳发和完全归纳法完成证明的能力。

　　•反例寻找具有技巧性。

　　•解决函数问题时，善于动中有静，静中有动，动静结合的思考。会将变量暂时固定看作常量研究问题;会引入变量，设置参数思考问题;会变换主元进行分析。

　　•能进行有一定思维量的无纸化证明，但在笔头证明时有时会发现无纸化时的想法不太严格。

　　•对于比较隐蔽的循环论证错误比较难以发觉，但对于一般的循环论证的错误能够避免。

　　•有反思结论合理性的习惯，且会思考动态时，讨论结论的变化是否具有合理性。示例：

　　测一测：

　　如果有同学做出了a+1/a的答案，你能判断这个结果是否合理吗?

　　七级水平的同学能够这样思考：如果我用放大镜去看，也就是把椭圆放大一个倍数，比如2倍，那么这个定值也应该扩大2倍，但是这个结果显然没有扩大2倍。所以如果七级水平的同学得出这样的结果，他能发现自己的结果的“不和谐”，尽管式子形式很美。因此，七级水平的同学已经很少会出现合理性不高的答案了。

　　下面告诉你，事实上这个答案在c=1时是成立的，七级的同学就能够直接推出答案应该是a+c2/a，大前提：c=1时结论是成立的，小前提：放大任意一个倍数k，这个式子对应的结果也都扩大k倍，从而结论是成立的(代数表达形式可以有多种，比如2a-b2/a，重要的是结果相等。)

　　我认为有这种反思结论合理性的同学其定向思维水平至少在六级半!仅一条便够。

　　更直接地说，这种人意识到结论和条件也是某种函数关系，正确的结论在“条件”变量变动时，其对应函数值(变化)应具有合理性。

　　八级水平：

　　在七级水平的基础上有以下突破：

　　•否定错误猜想时，善于对猜想进行小的修补，使错误猜想趋于合理，猜想过程具有动态性。

　　•通过不断提出、修补猜想的方式善于找到自己的解决问题的路子。即自己找到一条路。

　　•有自己一套迅速地确认猜想正误的方法。

　　•善于借鉴其它学科的方法、知识和思想思考本门学科的问题。

　　•无纸化证明基本能代替不需要较大计算量的笔头证明，且往往思维量不低。

　　•对于循环论证类型的错误比较敏感，能够指出数学史上一些著名数学家在著名的错误论证错在哪里。

　　总得说来，四级是一个分水岭，是一个正常中学生定向思维合格的最基本的条件。六级又是一个分水岭，是一个数学高分学生定向思维最基本的要求。七级和八级更偏向于对数学专业人士定向思维的要求。其中七级的有些要求也是数学高分学生定向思维应该去追求具备的。

　　这个标准的探寻从15年5月开始，历时两年，今天全面制成，其科学性有待实践的检验。但是，在这个商业培训都集中在发散思维的今天，这么一套标准的出台对于定向思维训练的方向探寻具有一定的指导价值，有利于学生针对自己的情况找到提高的途径!