六年级奥数题及答案-整数n的最大可能值是多少

　　已知定由"若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数"．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论．

　　解答：先将a+b+c化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c是3的倍数，然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数．

　　∵ =a+b+2a+5b=3(a+2b)，

　　显然，3│a+b+c

　　若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb，则ra≠0， rb ≠0．

　　若ra≠rb，则ra=2，rb=1或ra=1，rb=2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾．

　　∴ 只有ra=rb，则ra=rb=1或ra=rb=2．

　　于是a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数．

　　又2a+5b=2×11十5×5=47时，=

　　a+b+c=11+5+47=63，

　　2a+5b =2×13十5×7=61时，

　　a+b+c =13+7+61=81，

　　而(63，81)=9，故9为最大可能值．

　　【小结】由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．