高一数学期末考试试卷及答案解析
高一数学期末考试试卷及答案解析2023
在高一数学期末考试结束之后,做好每一个试卷的分析,会让你受益匪浅，一起来看看吧，以下是小编准备的一些高一数学期末考试试卷及答案下载，仅供参考。
高一(上)期末数学试卷
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩(∁UM)等于( )
A.{1，3} B.{1，5} C.{3.5} D.{4，5}
2.若A(﹣2，3)，B(3，﹣2)，C(0，m)三点共线，则m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣5 D.5
3.下列方程可表示圆的是( )
A.x2+y2+2x+3y+5=0 B.x2+y2+2x+3y+6=0
C.x2+y2+2x+3y+3=0 D.x2+y2+2x+3y+4=0
4.如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台
5.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8，则f(x)是( )
A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2
C.f(x)=﹣3﹣4 D.f(x)=3x+2或f(x)=﹣3x﹣4
6.已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m( )
A.4 B.﹣4 C.4或﹣4 D.以上都不对
7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B.若l∥α，α∥β，则l⊂β
C.若l⊥α，α∥β，则l⊥β D.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
8.下列各式错误的是( )
A.30.8>30.7 B.log0.60.4>log0.60.5
C.log0.750.34>logπ3.14 D.0.75﹣0.3<0.750.1
9.已知f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，若f(4)=0，则满足xf(x)≤0的x取值范围是( )
A.[﹣4，4] B.(﹣4，4) C.[﹣4，0)∪(0，4] D.(﹣∞，4)∪(4，+∞)
10.如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(2015秋淮北期末)(B类题)如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=
AB，则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE D.△PFB为等边三角形
二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.
12.(6分)(2015秋淮北期末)过点(2，1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为 .
13.(6分)(2015秋淮北期末)函数f(x)=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为 .
14.(6分)(2007天津)已知两圆x2+y2=10和(x﹣1)2+(y﹣3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 .
15.(6分)(2015秋淮北期末)(A类题)如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
16.(6分)(2015秋淮北期末)已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为 cm3.
三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2015秋淮北期末)已知函数f(x)=
﹣
的定义域为集合A.且B={x∈Z|2a+1}.
(Ⅰ)求A和(∁UA)∩B;
(Ⅱ)若A∪C=R，求实数a的取值范围.
18.(12分)(2015秋淮北期末)已知点P(2，﹣1).
(1)直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等.求直线m的方程：
(2)直线n经过点P.且坐标原点到该直线的距离为2.求直线n的方程.
19.(12分)(2015秋淮北期末)已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(﹣1，
).
(1)求圆的方程;
(2)若直线l1：x﹣
y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值; (3)求直线l2：x﹣
=0被此圆截得的弦长.
20.(12分)(2015秋淮北期末)如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.
(Ⅰ)求证：平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)求证：C′A⊥平面ABD.
21.(12分)(2015秋淮北期末)(A类题)设f(x)=
，其中e为自然底数.
(Ⅰ)若f(m)=2，求实数m的值;
(Ⅱ)求f(x)的反函数f﹣1(x);
(Ⅲ)判断f(x)的反函数f﹣1(x)的奇偶性.
22.(2015秋淮北期末)(B类题)已知函数f(x)=
.
(Ⅰ)求f{f(f(﹣1))}的值;
(Ⅱ)画出函数f(x)的图象;
(Ⅲ)指出函数f(x)的单调区间.
23.(12分)(2015秋淮北期末)设函数f(x)=
，g(x)=
x+1﹣a
(1)求f(x)的值域;
(2)若点(3，2)到函数g(x)图象所表示的直线的距离为3，求a值;
(3)若有f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩(∁UM)等于( )
A.{1，3} B.{1，5} C.{3.5} D.{4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】对应思想;定义法;集合.
【分析】根据补集与交集的定义，求出∁UM与N∩(∁UM)即可.
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，
∴∁UM={2，3，5}，
∴则N∩(∁UM)={3，5}.
故选：C.
【点评】本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，是基础题目.
2.若A(﹣2，3)，B(3，﹣2)，C(0，m)三点共线，则m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣5 D.5
【考点】三点共线.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值
【解答】解：∵A(﹣2，3)，B(3，﹣2)，
∴直线AB的斜率k1=
=﹣1 同理可得：直线AC的斜率k2=
∵A、B、C三点共线，
∴直线AB与直线AC的斜率相等，即k1=k2，
得
=﹣1，解之得m=1，
故选：A.
【点评】本题给出三点共线，求参数m的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题.
3.下列方程可表示圆的是( )
A.x2+y2+2x+3y+5=0 B.x2+y2+2x+3y+6=0
C.x2+y2+2x+3y+3=0 D.x2+y2+2x+3y+4=0
【考点】二元二次方程表示圆的条件.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】只需计算D2+E2﹣4F的正负即可.
【解答】解：对于A：4+9﹣20<0，不表示任何图象，
对于B：4+9﹣24<0，不表示任何图象，
对于C：4+9﹣12>0，表示圆，
对于D：4+9﹣16<0，不表示任何图象，
故选：C.
【点评】本题考查了圆的一般方程问题，掌握圆的一般方程，计算D2+E2﹣4F的正负是解题的关键，本题是一道基础题.
4.如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台
【考点】由三视图还原实物图.
【专题】图表型.
【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状.
【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱(横放着的)如图.
故选C.
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题.
5.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8，则f(x)是( )
A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2
C.f(x)=﹣3﹣4 D.f(x)=3x+2或f(x)=﹣3x﹣4
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用换元法，令t=3x+2，则x=
代入f(x)中，即可求得f(t)，然后将t换为x即可得f(x)的解析式. 【解答】解：令t=3x+2，则x=
，所以f(t)=9×
+8=3t+2.
所以f(x)=3x+2.
故选B.
【点评】本题主要考查复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决.属于基础题.
6.已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m( )
A.4 B.﹣4 C.4或﹣4 D.以上都不对
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】利用直线平行的性质求解.
【解答】解：∵直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，l1∥l2，
∴当m=0时，l1⊥l2，不成立;
当m≠0时，
解得m=﹣4.
故选：B.
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用.
7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B.若l∥α，α∥β，则l⊂β
C.若l⊥α，α∥β，则l⊥β D.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案.
【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误;
若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误;
若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确;
若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误;
故选C
【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点);②利用线面平行的判定定理(a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α);③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β);④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.
8.下列各式错误的是( )
A.30.8>30.7 B.log0.60.4>log0.60.5
C.log0.750.34>logπ3.14 D.0.75﹣0.3<0.750.1
【考点】对数值大小的比较;指数函数的图象与性质.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】直接利用指数函数与对数函数的性质比较四个选项中两个值的大小得答案.
【解答】解：由指数函数的单调性可得30.8>30.7，A正确;
由对数函数的单调性可得log0.60.4>log0.60.5，B正确;
∵log0.750.34>log0.750.75=1，logπ3.14
∴log0.750.34>logπ3.14，C正确;
由指数函数的单调性可得0.75﹣0.3>0.750.1，D错误.
故选：D.
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题.
9.已知f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，若f(4)=0，则满足xf(x)≤0的x取值范围是( )
A.[﹣4，4] B.(﹣4，4) C.[﹣4，0)∪(0，4] D.(﹣∞，4)∪(4，+∞)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】首先由奇函数的图象关于原点对称及在(0，+∞)上是增函数，从而转化为不等式组，进而可解出x的取值范围.
【解答】解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，+∞)上是增函数，f(0)=0
∴
或
，
∴x的取值范围是(0，4]∪[﹣4，0)∪{0}=[﹣4，4]，
故选：A.
【点评】本题主要考查不等式的解法，考查函数单调性与奇偶性的结合，应注意奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反.
10.如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】棱柱的结构特征.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】在①中，由已知推导出C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，从而得到C1M⊥平面A1ABB1;在②中，由已知推导出A1B⊥平面AC1M，从而A1B⊥AM，由AN
B1M，得AM∥B1N，进而得到A1B⊥NB1;在③中，由AM∥B1N，C1M∥CN，得到平面AMC1∥平面CNB1.
【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，
∴C1M⊥AA1，
∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确;
在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，
∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，
∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，
∴A1B⊥AM，
∵AN
B1M，∴AM∥B1N，
∴A1B⊥NB1，故②正确;
在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，
∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确.
故选：D.
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
11.(2015秋淮北期末)(B类题)如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=
AB，则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE D.△PFB为等边三角形
【考点】棱锥的结构特征.
【专题】计算题;对应思想;分析法;空间位置关系与距离.
【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案.
【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，
∴A不成立，
又平面PAB⊥平面PAE，
∴平面PAB⊥平面PBC也不成立;BC∥AD∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立.
∵PA=
AB，PA⊥平面ABC ∴PF=PB，BF=
AB
∴△PFB为等边三角形，
故选：D.
【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质，属于基础题.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.
12.(6分)(2015秋淮北期末)过点(2，1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为 3x﹣y﹣5=0 .
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得.
【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣
，
∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，
故点斜式方程为y﹣1=3(x﹣2)，
化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，
故答案为：3x﹣y﹣5=0.
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题.
13.(6分)(2015秋淮北期末)函数f(x)=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为 a=0或a>1 .
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题;数形结合;综合法;函数的性质及应用.
【分析】作出函数g(x)=|x2﹣1|的图象，即可求出实数a的取值范围.
【解答】解：函数g(x)=|x2﹣1|的图象如图所示，
∵函数f(x)=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，
∴a=0或a>1.
故答案为：a=0或a>1.
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键.
14.(6分)(2007天津)已知两圆x2+y2=10和(x﹣1)2+(y﹣3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 x+3y=0 .
【考点】相交弦所在直线的方程.
【专题】计算题.
【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程.
【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，
故答案为 x+3y=0.
【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程.
15.(6分)(2015秋淮北期末)(A类题)如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为 3π .
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为
，即可求出球的表面积. 【解答】解：由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为
， ∴球的表面积为
=3π.
故答案为：3π.
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础.
16.(6分)(2015秋淮北期末)已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为 32
π cm3.
【考点】球的体积和表面积.
【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的体积.
【解答】解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，
∵PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=4，
∴AB=BC=CA=4
，且O′为△ABC的中心，于是
=2r，得r=
，又PO′=
=
. OO′=R﹣
=d=
，解得R=2
，故V球=
πR3=32
π. 故答案为：32
π.
【点评】本题是中档题，考查球的体积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力.
三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2015秋淮北期末)已知函数f(x)=
﹣
的定义域为集合A.且B={x∈Z|2a+1}.
(Ⅰ)求A和(∁UA)∩B;
(Ⅱ)若A∪C=R，求实数a的取值范围.
【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算.
【专题】数形结合;定义法;集合.
【分析】(Ⅰ)根据f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集A，再求∁RA∩B;
(Ⅱ)根据A∪C=R，列出不等式组
，求出a的取值范围. 【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)=
﹣
， ∴
，
解得3≤x<7，
∴A={x|3≤x<7};
∴∁RA={x|x<3或x≥7}，
又B={x∈Z|2
∴∁RA∩B={7，8，9};
(Ⅱ)∵A={x|3≤x<7}，C={x∈R|xa+1}，
且A∪C=R，
∴
，
解得3≤a<6.
【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的基本运算问题，是基础题.
18.(12分)(2015秋淮北期末)已知点P(2，﹣1).
(1)直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等.求直线m的方程：
(2)直线n经过点P.且坐标原点到该直线的距离为2.求直线n的方程.
【考点】点到直线的距离公式;直线的截距式方程.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】(1)当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点(0，0)，P(2，﹣1);当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P(2，﹣1)代入，得a=1.由此能求出过点P(2，﹣1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
(2)分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线n的方程.
【解答】解：(1)当横截距a=0时，纵截距b=0，
此时直线过点(0，0)，P(2，﹣1)，
∴直线方程为y=﹣
x;
当横截距a≠0时，纵截距b=a，
此时直线方程设为x+y=a，
把P(2，﹣1)代入，得a=1，
∴所求的直线方程为：x+y﹣1=0.
综上：过点P(2，﹣1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=﹣
x或x+y﹣1=0.
(2)直线n的方程为x=2时，满足题意;
直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k(x﹣2)，即kx﹣y﹣2k﹣1=0，
坐标原点到该直线的距离为
=2，∴k=
，∴方程为3x﹣4y﹣10=0，
综上，直线n的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0.
【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用.
19.(12分)(2015秋淮北期末)已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(﹣1，
).
(1)求圆的方程;
(2)若直线l1：x﹣
y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值; (3)求直线l2：x﹣
=0被此圆截得的弦长.
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】(1)由已知得圆心为(0，0)，由两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程.
(2)由已知得l1与圆相切，由圆心(0，0)到l1的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式能求出b.
(3)先求出圆心(0，0)到l2的距离d，所截弦长l=2
，由此能求出弦长. 【解答】解：(1)∵圆的圆心为坐标原点，且经过点(﹣1，
)， ∴圆心为(0，0)，半径r=
=2，
∴圆的方程为x2+y2=4.…(4分)
(2)∵直线l1：x﹣
y+b=0与此圆有且只有一个公共点， ∴l1与圆相切，则圆心(0，0)到l1的距离等于半径2，即
=2，
解得b=±4.…(8分)
(3)∵直线l2：x﹣
=0与圆x2+y2=4相交，圆心(0，0)到l2的距离d=
=
， ∴所截弦长l=2
=2
=2.…(14分)
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用.
20.(12分)(2015秋淮北期末)如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.
(Ⅰ)求证：平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)求证：C′A⊥平面ABD.
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理证明平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)利用AD⊥平面C′AB，证明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，证明AB⊥C′A，再利用线面垂直的判定定理证明C′A⊥平面ABD.
【解答】(本题满分为10分)
解：(Ⅰ)因为M，N分别是BD，BC′的中点，
所以MN∥DC′.
因为MN⊄平面ADC′，
DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′.
同理NG∥平面ADC′.
又因为MN∩NG=N，
所以平面GNM∥平面ADC′…(5分)
(Ⅱ)因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB.
又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB.
因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.
因为△BCD是等边三角形，AB=AD，
不妨设AB=1，则BC=CD=BD=
，可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.
因为AB∩AD=A，
所以C′A⊥平面ABD…(10分)
【点评】本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，考查了学生分析解决问题的能力、空间想象能力和推理论证能力，正确运用面面平行、线面垂直的判定定理是解题的关键，属于中档题.
21.(12分)(2015秋淮北期末)(A类题)设f(x)=
，其中e为自然底数.
(Ⅰ)若f(m)=2，求实数m的值;
(Ⅱ)求f(x)的反函数f﹣1(x);
(Ⅲ)判断f(x)的反函数f﹣1(x)的奇偶性.
【考点】反函数;函数奇偶性的判断.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)令f(m)=2列出方程，转化为二次函数解出;
(2)将函数式子变形，用y表示出x，然后互换变量的符号得出反函数;
(3)先判断反函数的定义域，再计算f﹣1(﹣x)+f﹣1(x).
【解答】解：(Ⅰ)由
=2得：e2m﹣4em﹣1=0，解得em=2+
或em=2﹣
(舍). ∴m=ln(2+
). (Ⅱ)由y=
得：e2x﹣2yex﹣1=0，解得ex=y+
，∴x=ln(y+
). ∴f﹣1(x)=ln(x+
)(x∈R). (Ⅲ)f﹣1(﹣x)+f﹣1(x)=ln(﹣x+
)+ln(x+
)=ln1=0.
∴f﹣1(x)为奇函数.
【点评】本题考查了函数值的计算，反函数的求法，函数奇偶性的判断，属于基础题.
22.(2015秋淮北期末)(B类题)已知函数f(x)=
.
(Ⅰ)求f{f(f(﹣1))}的值;
(Ⅱ)画出函数f(x)的图象;
(Ⅲ)指出函数f(x)的单调区间.
【考点】函数的单调性及单调区间;函数的值;分段函数的应用.
【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)根据分段函数的表达式代入即可求f{f(f(﹣1))}的值;
(Ⅱ)根据函数图象的坐标即可画出函数f(x)的图象;
(Ⅲ)由图象可知函数f(x)的单调区间.
【解答】解：(Ⅰ)f(﹣1)=﹣(﹣1)﹣1=0，f(0)=1，f(1)=﹣1+2×1=1，
即f{f(f(﹣1))}=1.
(Ⅱ)函数的图象如图：
(3)由图象知递减区间：(﹣∞，0)，(1，+∞)，递增区间：(0，1).
【点评】本题主要考查分段函数的应用，比较基础.
23.(12分)(2015秋淮北期末)设函数f(x)=
，g(x)=
x+1﹣a
(1)求f(x)的值域;
(2)若点(3，2)到函数g(x)图象所表示的直线的距离为3，求a值;
(3)若有f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;函数的值域;点到直线的距离公式.
【专题】数形结合;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据根式函数以及一元二次函数的性质即可求f(x)的值域;
(2)若点(3，2)到函数g(x)图象所表示的直线的距离为3，利用点到直线的距离关系进行求解即可求a值;
(3)利用数形结合转化为直线和圆的位置关系即可得到结论.
【解答】解：(1)由﹣x2﹣4x≥0得x2+4x≤0，即﹣4≤x≤0，
此时f(x)=
=
∈[0，2]，即函数f(x)的值域为[0，2]. (2)由g(x)=
x+1﹣a=y得4x﹣3y+3(1﹣a)=0，
则若点(3，2)到函数g(x)图象所表示的直线的距离为3，
则d=
=3，即
，
则|3﹣a|=5，即a=8或a=﹣2.
(3)若有f(x)≤g(x)恒成立，
则函数f(x)对应的图象，在g(x)的图象下方，
函数f(x)=
，表示以C(﹣2，0)为圆心，半径r=2的圆的上半部分，则直线g(x)=
x+1﹣a的截距1﹣a>0，即a<1，
则满足圆心C到直线4x﹣3y+3(1﹣a)=0的距离d≥2，
即≥2，
则|3a+5|≥10，
即3a+5≥10或3a+5≤﹣10，
即3a≥5或3a≤﹣15，
即a≥
(舍)或a≤﹣5，
即实数a的取值范围是(﹣∞，﹣5].
【点评】本题主要考查函数值域以及点到直线的距离的计算，不等式恒成立问题，利用数形结合进行转化是解决本题的关键.
高一数学公式
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
弧长公式 l=a__r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2__l__r
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1__X2=c/a 注：韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根
降幂公式
(sin^2)x=1-cos2x/2
(cos^2)x=i=cos2x/2
万能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
弧长公式l=a__r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2__l__r
乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a 注：韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根
降幂公式
(sin^2)x=1-cos2x/2
(cos^2)x=i=cos2x/2
万能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
奇变偶不变，符号看象限。
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
两角和差公式
两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......__，
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把__分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
和差化积公式
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
积化和差公式
三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
等比数列公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)
若通项公式变形为an=a1/q__q^n(n∈N__),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q__q^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若m、n、p、q∈N__，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an__q)/(1-q)(q≠1)Sn=n__a1 (q=1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金__(1+利率)^存期
等差数列公式
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d
或an=am+(n-m)d
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则：am+an=2ap
以上n均为正整数
文字翻译
第n项的值=首项+(项数-1)__公差
前n项的和=(首项+末项)__项数/2
公差=后项-前项
对称数列公式
对称数列的通项公式：
对称数列总的项数个数：用字母s表示
对称数列中项：用字母C表示
等差对称数列公差：用字母d表示
等比对称数列公比：用字母q表示
设，k=(s+1)/2
一般数列的通项求法
一般有：
an=Sn-Sn-1 (n≥2)
累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。
逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。
化归法(将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。
特别的：
在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
不动点法(常用于分式的通项递推关系)
特殊数列的通项的写法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
数列前N项和公式的求法
(一)1.等差数列:
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
an=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列的前n项和为Sn
即Sn=a1+a2+...+an;
那么Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法3 倒序相加法
(二)1.等比数列:
通项公式an=a1__q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
an=a1__q^(n-1),am=a1__q^(m-1)
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am__q^(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 则am×an=ap×aq
2.等比数列前n项和
设a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1__q+a1__q^2+....a1__q^(n-2)+a1__q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an__q)/(1-q);
注: q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法)2 累乘法3 错位相减法 4 倒序求和法5 裂项相消法