六年级上册奥数习题:质因数

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  质因数是六年级奥数的知识点之一,不少同学对于这个知识点都不是很了解,今天小编专门准备了一些习题,希望对大家掌握这类型的题目有所帮助!

  习题一

  1.质因数

  某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师,14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?

  【分析】这个学校最少有35+14×30=455名师生,最多有35+14×45=665名师生,并且师生总人数能整除1995.1995=3×5×133,在455~665之间的约数只有5×133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995÷665=3元.

  2.质因数

  甲、乙、丙三人打靶,每人打三枪,三人各自中靶的环数之积都是 ,按个人中靶的总环数由高到低排,依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的?(环数是不超过 的自然数)

  【分析】三人三枪中靶环数之积均为60,即每人每枪中靶环数均为60的约数。将60分解质因数为60=22×3×5,又因为每枪环数不超过10,所以将60写成三个不超过10的自然数的乘积有且只有以下四种情况:

  60=3×4×5;60=2×6×5;60=2×3×10;60=1×6×10.

  其中总环数分别为12,13,15,17,出现4环的情形①总环数最少,所以4环是丙打的。

  习题二

  质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。

  合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。

  质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。

  分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

  分解质因数的标准表示形式:N= ,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1

  求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

  互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。

  习题三

  质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆,因为它们都有“质”和“数”两个字。正确地区分这几个概念,对掌握数的整除性这部分基础知识,有着极其重要的意义。

  (1)质数:一个自然数,如果只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数(也称素数)。

  例如:

  1的约数有:1;

  2的约数有:1,2;

  3的约数有:1,3;

  4的约数有:1,2,4;

  6的约数有:1,2,3,6;

  7的约数有:1,7;

  12的约数有:1,2,3,4,6,12;

  ……

  从上面各数的约数个数中可以看到:一个自然数的约数个数有三种情况:

  ①只有一个约数的,如1。因此,1不是质数,也不是合数。

  ②只有两个约数的(1和它本身),如2,3,7……

  ③有两个以上约数的,如4,6,12……

  属于第②种情况的,叫做质数。属于第③种情况的,即:除了1和本身以外,还有别的约数,这样的数叫做合数。

  (2)质因数:一般地说,一个数的因数是质数,就叫做这个数的质因数。

  例如:18=2×3×3

  这里的2、3、3都是18的因数,而2和3本身又都是质数,于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是:18也可以写成3与6的乘积,即:18=3×6,无疑3和6都是18的因数,但3本身是质数,可以称做18的质因数,而6是合数,则不能称做18的质因数。

  (3)互质数:两个或几个自然数,当它们的最大公约数是1的时候,这两个或几个数,就叫做互质数(也叫互素数)。

  例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35……。

  上述这几组数,它们的最大公约数都是1,因此,它们都是互质数。在以上两个互质数中,如7、11和15这三个数,7和11是互质数,11和15是互质数,7和15也是互质数。这类情况,我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中,虽然它们也是互质数,但不是两两互质,因为12和35是互质数,至于12和20、20和35都不是互质数。

  需要注意的是:不管两个数互质或者两个的数以上互质,这些数本身却不一定是质数,如5和7是互质数,它们本身都是质数;4和11是互质数,其中4并不是质数;8和9是互质数,但8和9本身都不是质数。

  总之,质数是指一个数。譬如说:“2是质数,11是质数”等等。质因数虽然也是指一个数,但是它是针对另一个数而说的。譬如说:“5是35的质因数。”如果离开35,孤立地说:“5是质因数。”则是不妥当的。因此,质因数具有双重身份:第一必须是个质数;第二必须是另一个数的因数。

  互质数同质数、质因数都不同,它不是指一个数,而是指除了1以外,再没有其他公约数的两个或两个以上的数。

  由此可见:掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念,其中质数是基础,这三者之间既有联系,又有区别,要透彻理解和正确区分,才能防止混淆。

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