三年级数学思维训练-无穷多个完全平方数

　　编者小语:为了丰富同学们的学习生活，三年级奥数题栏目为同学们搜集整理了有关三年级的数学题类试题，供大家参考，希望对大家有所帮助!

　　已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数.

　　答案：

　　证明：首先由级数各项为正可知公差d>=0,d=0,则a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一项为完全平方数，所有项均为完全平方数，由于级数的项数为无限，所以命题得证。

　　d>0，时d一定为正整数。不妨设第i项为完全平方数ai=k^2(i=1,2,3,...),则ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也为完全平方数，所以第i+(2k+d)d项为完全平方数，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)项均为完全平方数(数学归纳法的证明略)，由于n可取无穷项，所以命题得证。

　　综上命题成立。