五年级奥数难题及答案-分数的演绎与传奇

　　编者小语：奥数强调数学知识的应用，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。下面是小编整理的五年级奥数题及参考答案:分数的演绎与传奇。一分耕耘一分收获,相信大家通过自己的努力，一定能够取得优异的成绩!!

　　在一种简化的飞镖靶盘上只有两个区域(见图)：

　　内圈11分，外圈4分。

　　比赛的人轮流投掷飞镖，并累积计算各人的总分，先达到预定分数的人赢。

　　当凯蒂和海伦在玩这个游戏时，她们发现不论怎么玩就是无法达到某些分数，如21分。于是她们坐下来，拿出纸和笔，研究到底有哪些分数是无法达到的。结果她们发现，只要超过某个分数之后，任何分数都可以达到。因此她们约定将来再玩时，所设定的目标分数一定要够大才行。

　　请找出无法达到的总分。

　　如果改变内圈与外圈的分数，对于目标分数的形式会有何影响?

　　如果内圈是m分，外圈是n分，你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗?

　　答案与分析：

　　在11分以内，只有4的倍数可能达到。11和12当然也可能。如果13是可能的，它必须等于先前可能达到的分数加4或加11，但是13-4=9，13-11=2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因为15-4=11。继续依同样的方式推算，可以证明29是不可能达到的，但之后的

　　30=2× (11)+2×④

　　31= +5×④

　　32= 8×④

　　33=3×)

　　有4个连续可能达到的分数，因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的，因为：

　　34=30+4 35=31+4 36=32+4

　　37=33+4

　　故以归纳法推论，任何大于29的分数都可以达到。

　　不可能达到的分数如下：

　　1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，

　　21，22，25，29

　　一般来说，要是m与n除了1以外没有公因数，则不可能达到的最大分数是

　　mn-m-n

　　然而，如果m与n有一个公因数d，那么就只有d的倍数才可能达到，因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。证明上面的公式已超出本书的范围，但是以下述的方式分析题目中的例子，也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。

　　先只考虑4，所有4的倍数都是可达到的。接着要证明的就是加上11的倍数，并超过某一数目之后，任何分数都是可达到的。

　　由于

　　11=2×4+3

　　22=5×4+2

　　33=8×4+1

　　故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1，因此可以把它们写成如下的形式：

　　4n+3 4n+2 4n+1

　　所以33以上的所有分数都是可能达到的。略加思考之后，我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4，它的形式应该是

　　(4-1)×11-4

　　如以通式表示，则：

　　(n-1)m-n=nm-m-n