九年级数学上学期期中考试真题与答案

　　数学是一门富有创新内涵学科，在教育的道路上，小学数学教学的目的是在向学生传授知识、发展智力的基础上，培养学生的逻辑、和创新能力，其中注重培养学生的创新思维为核心工

　　期中考试真题

　　一.选择题(每小题3分，共8小题，满分24分)

　　1.若(m﹣2)x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则(　　)

　　A.m=±2 B.m=2 C.m=﹣2 D.m≠±2

　　2.一元二次方程x(x﹣2)=x的根是(　　)

　　A.0 B.2 C.3或0 D.0或﹣3

　　3.抛物线y=(x﹣2)2+3的对称轴及顶点坐标是(　　)

　　A.直线x=﹣3，顶点坐标为(﹣2，﹣3)

　　B.直线x=3，顶点坐标为(2，3)

　　C.直线x=2，顶点坐标为(2，3)

　　D.直线x=﹣2，顶点坐标为(﹣2，3)

　　4.下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　5.若二次函数y=ax2﹣2ax﹣1，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为(　　)

　　A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

　　6.关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+k=0的根的情况是(　　)

　　A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根

　　C.无实数根 D.不能确定

　　7.点M(﹣3，y1)，N(﹣2，y2)是抛物线 y=﹣(x+1)2+3上的两点，则下列大小关系正确的是(　　)

　　A.y1

　　8.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行(　　)

　　A.2.76米 B.6.76米 C.6米 D.7米

　　二.填空题(共8小题，满分24分，每小题3分)

　　9.把一元二次方程3x2+2=5x化成一般形式是　 　.

　　10. 如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=　 　度.

　　11.抛物线y=﹣x2﹣2x+1，其图象的开口　 　，当x=　 　时，y有最　 　值是　 　.

　　12.二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图示，下列结论：

　　(1)b<0;(2)c>0;(3)b2﹣4ac>0; (4)a﹣b+c<0，

　　(5)2a+b<0; (6)abc>0;其中正确的是　 　;(填写序号)

　　13.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为　 　.

　　14.如图，正三角形ABC要绕中心点O旋转到图中所在的位置，则应旋转　 　度.

　　15.某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：

　　16.在直角坐标系中，点(﹣2，3)关于原点中心对称的点的坐标是　 　.

　　三 .解答题(共10小题，满分62分)

　　17.(6分)解方程：

　　(1)(x+1)2﹣9=0.

　　(2)x2﹣4x+1=0(用配方法)

　　18.(6分)解方程：

　　(1)因式分解5x(x+1)=2(x+1);

　　(2)公式法x2﹣3x﹣1=0.

　　19.(6分)淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.

　　(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率;

　　(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款?

　　20.(6分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

　　(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;

　　(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.

　　21.(6分)如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠EBC=30°，求∠EFD的度数.

　　22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC各顶点坐标分别为A(﹣2，3)，B(﹣3，2)，C(﹣1，1)

　　(1)画出△ABC关于x轴的对称的图形△A1B1C1;

　　(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，请在网格中画出△A2B2C，并直接写出线段A2C1的长.

　　23.(8分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：

　　(1)关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为　 　;

　　(2)求此抛物线的解析式;

　　(3)当x为值时，y<0;

　　(4)若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的范围.

　　24.(8分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.

　　(1)证明：PC=PE;

　　(2)求∠CPE的度数;

　　(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

　　25.(8分)如图，已知矩形ABCD的边AB在x轴 上，且AB=4，另外两个顶点C，D落在抛物线y=﹣ x2+2x上，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结直线OC交抛物线的对称轴于点F.

　　(1)求抛物线的对称轴和直线OC的函数表达式.

　　(2)将△OEF绕点O旋转得到△OE′F′，当点F′恰好落在直线AD上时，求点E′的坐标.

　　26.许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋转位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度.为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90)，记录相关数据得到下表：

　　旋钮角度(度) 20 50 70 80 90

　　所用燃气量(升) 73 67 83 97 115

　　(1)请 你从所学习过的一次函数、反比例 函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式;

　　(2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?

　　(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量.

　　期中考试真题答案

　　一.选择题

　　1.C.

　　2.C.

　　3.C.

　　4.D.

　　5.B.

　　6.A.

　　7.A.

　　8.B.

　　二.填空题

　　9.3x2﹣5x+2=0

　　10.25.

　　11.向下，﹣1，大，2.

　　12.(2)(3)(4)(5).

　　13.y=(x+2)2﹣3.

　　14.120.

　　15.100(1+x)2=179.

　　16.(2，﹣3).

　　三.解答题

　　17.解：(1)(x+1)2﹣9=0

　　x+1=±3，

　　解得：x1=2，x2=﹣4;

　　(2)x2﹣4x+1=0(用配方法)

　　x2﹣4x+4=﹣1+4

　　(x﹣2)2=3，

　　则x﹣2=± ，

　　解得：x1=2﹣ ，x2=2+ ;

　　18.解：(1)5x(x+1)﹣2(x+1)=0，

　　(x+1)(5x﹣2)=0

　　x+1=0或5x﹣2=0，

　　所以x1=﹣1，x2= ;

　　(2)△=(﹣3)2﹣4×(﹣1)=13，

　　x= ，

　　所以x1= ，x2= .

　　19.解：(1)捐款增长率为x，根据题意得：

　　10000(1+x)2=12100，

　　解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(舍去).

　　则x=0.1=10%.

　　答：捐款的增长率为10%.

　　(2)根据题意得：12100×(1+10%)=13310(元)，

　　答：第四天该校能收到的捐款是13310元.

　　20.解：(1)a≠0，

　　△=b2﹣4a=(a+2)2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，

　　∵a2>0，

　　∴△>0，

　　∴方程有两个不相等的实数根;

　　(2)∵方程有两个相等的实数根，

　　∴△=b2﹣4a=0，

　　若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1.

　　21.解：∵△DCF是△BCE旋转得到的图形，

　　∴∠BEC=∠DF C=90°﹣30°=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE，

　　∴∠CFE=∠FEC=45°.

　　∴∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°.

　　22.解：(1)如图，△A1B1C1为所作;

　　(2)如图，△A2B2C为所作，线段A2C1的长= = .

　　23.解：(1)观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=﹣1和x=3两点，

　　∴方程的解为x1=﹣1，x2=3，

　　故答案为：﹣1或3;

　　(2)设抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+k，

　　∵抛物线与x轴交于点(3，0)，

　　∴(3﹣1)2+k=0，

　　解得：k=4，

　　∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4，

　　即：抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;

　　(3)若y<0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x>3或x<﹣1;

　　(4)若直线y=k与抛物线没有交点，则k>函数的最大值，即y>4.

　　24.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，

　　∠ABP=∠CBP=45°，

　　在△ABP和△CBP中，

　　，

　　∴△ABP≌△CBP(SAS)，

　　∴PA=PC，

　　∵PA=PE，

　　∴PC=PE;

　　(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，

　　∴∠BAP=∠BCP，

　　∴∠DAP=∠DCP，

　　∵PA=PE，

　　∴∠DAP=∠E，

　　∴∠DCP=∠E，

　　∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，

　　∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

　　即∠CPF=∠EDF=90°;

　　(3)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

　　在△ABP和△CBP中，

　　，

　　∴△ABP≌△CBP(SAS)，

　　∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

　　∵PA=PE，∴PC=PE，

　　∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，

　　∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF

　　∵∠ABC=∠ADC=120°，

　　∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°，

　　∴△EPC是等边三角形，

　　∴PC=CE，

　　∴AP=CE;

　　25.解：(1)根据题意得：

　　抛物线的对称轴为：x=﹣ =4，

　　∴OE=4

　　∵AB=4，

　　∴AE=BE=2

　　∴点C和点B的横坐标为6，

　　把x=6代入y=﹣ x2+2x得：

　　y=﹣ ×62+2×6=3，

　　即点C的坐标为(6，3)，

　　设直线OC的函数表达式为：y=kx，

　　把点C(6，3)代入得：

　　6k=3，

　　解得：k= ，

　　故直线OC的函数表达式为：y= ，

　　即抛物线的对称轴为：x=4，直线OC的函数表达式为：y= ，

　　(2)①如图1中，当点F′在射线AD上时.作E′N⊥AD于N，设OE′交AD于P.

　　∵OF=OF′，EF=OA=2，

　　∴Rt△O FE≌Rt△F′AO，

　　∴AF′=OE=4，∠OF′A=∠FOE=∠F′OE′，

　　∴OP=PF′，设OP=PF′=m，

　　在Rt△PE′F′中，∵PF′2=E′F′2+PE′2，

　　∴m2=22+(4﹣m)2，

　　∴m= ，

　　∴E′N= = ，

　　∴NF′ = = ，

　　∴AN=AF′﹣F′N=4﹣ = ，

　　∴E′( ， )，

　　②如图2中，当点F′在DA的延长线上时，易知点E′在y轴上，E′(0，﹣4)

　　综上所述，点E的坐标为( ， )或(0，﹣4).

　　26.解：(1)若设y=kx+b(k≠0)，

　　由 ，

　　解得 ，

　　所以y=﹣ x+77，把x=70代入得y=63≠83，所以不符合;

　　若设y= (k≠0)，由73= ，解得k=1460，

　　所以y= ，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合;

　　若设y=ax2+bx+c，

　　则由 ，

　　解得 ，

　　所以y= x2﹣ x+97(18≤x≤90)，

　　把x=80代入得y= 97，把x=90代入得y=115，符合题意.

　　所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律;

　　(2)由(1)得：y= x2﹣ x+97= (x﹣40)2+65，

　　所以当x=40时，y取得最小值65.

　　即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升;

　　(3)由(2)及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115﹣65=50(升)

　　设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：

　　a=10，

　　解得a=23.

　　即该家庭以前每月平均用气量为23立方米