高中数学必修一函数的有关概念知识点归纳

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在数学的学习中,每天都会面对着非常多的数字。下面是小偏整理的高中数学必修一函数的有关概念知识点归纳,感谢您的每一次阅读。

高中数学必修一函数的有关概念知识点归纳

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

?相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域:先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

(2)画法

A、描点法:

B、图象变换法常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.

5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f:A→B

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法:

○1任取x1,x2∈D,且x1

○2作差f(x1)-f(x2);

○3变形(通常是因式分解和配方);

○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理,或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2利用图象求函数的最大(小)值

○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题:

1.求下列函数的定义域:⑴⑵

2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__

3.若函数的定义域为,则函数的定义域是

4.函数,若,则=

6.已知函数,求函数,的解析式

7.已知函数满足,则=。

8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间:

⑴(2)

10.判断函数的单调性并证明你的结论.

11.设函数判断它的奇偶性并且求证:.

三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

和差化积sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB

-ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin

数学的有效学习方法

在数学的学习中,每天都会面对着非常多的数字。古人有云:知之者不如好之者,好之者不如乐之者。这句话的意思就是说如果想要干好一件事,就一定要知道他,但是了解他又不如爱好台,爱好他又不如乐在其中。这个乐就是要产生一种浓厚的兴趣。如果同学们能够对数学产生浓厚的兴趣,那么就能够从兴趣出发,有非常理性的思维,来解决数学的问题,成为数学学习中的佼佼者。如何才能建立起良好的数学学习兴趣呢:

(1)做好课前预习。数学课堂上仅有短短的45分钟,如果让学生在这45分钟之内,先对知识进行预习,这样会大大减小课堂效率,也是一种极其浪费时间的表现。因此同学们要想在课堂上能够充分的运用,在45分钟,就一定要在课前先对将要学习的数学知识进行一个简单系统的预习。要现在预习中找到自己可以自己解决的问题,也要找到那些自己不能解决的问题,然后重点标记,在课堂上着重听教师进行讲解。

(2)在课堂中要尽力配合老师的讲解。在听课的过程中,同学们应该能够找到课堂的重点,一般重点知识的讲解教师都会放在课堂已经进行一大半的时候,这时,学生的注意力应该更加集中,这样才能够理解教师本节课所讲述的最重点的知识内容。如果学生能够听懂教师的讲解,他们对数学学习的兴趣也会大大增加。

(3)在课后应该及时的进行复习巩固。如果学生只在课堂上听教师讲解,课后不进行及时的复习巩固,那么教师讲解的内容可能几天就已经忘记了,因而数学学习的成果并不明显。同学们在考试中不能看到明显的进步,他们对数学学习的兴趣也会大打折扣。


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