关于对初中数学题目的分析指导

　　我把初中数学作为重点，也注意翻看小学、高中以及大学的一些书籍，总想更细致地了解初中学生在小学里学过些什么，到高中、大学甚至走向社会工作后数学的发展与应用情况，从而不断充实我的初中数学教育工作。

　　我在大学里学习《高等数学》的时候，曾经参考过复旦大学数学系主编的《数学分析》以及樊映川主编的《高等数学讲义》这样一些优秀的教科书，印象最深刻至今仍爱不释手的还有华罗庚著《高等数学引论》。

　　我读《高等数学引论》，感觉到华罗庚理解数学、思考数学的方式与众不同，很独特、很巧妙，基本上不是许多其他教材的思维方式和处理方法，很多内容其他教材里也见不到，所以我认为《高等数学引论》很珍贵。

　　我看过介绍华罗庚的一些资料，始终记得他曾有比较多的时间在工厂里、在车间里和工程技术人员一起解决生产技术中的很多数学问题。

　　最近拿着《高等数学引论》，我想华罗庚作为大数学家，亲自为大学生讲授数学基础课，编写数学基础课教材，这样的事情真是很少见、很宝贵。

　　在教初中学生无理数、有理数时，我借用华罗庚著《高等数学引论》中的内容：“凡是循环小数都能表成有理数，特别需要注意的是循环小数0.999…，实质上代表1”，引导启发学生进行一番拓展思考、分析与演算，效果很好。这句话的特点和精妙在于：前半句是抽象、是一般，后半句是具体、是特殊。

　　这里，我想摘录华罗庚著《高等数学引论》第一章《实数与复数》中关于自然数和分数的两段内容，供中小学生、教师和家长参考，让大家了解华罗庚理解思考自然数和分数的方式和特点，希望对大家有启发和帮助。

　　关于自然数，有这样的一段原文：

　　“数起源于“数”，一个一个地数，因而出现了

　　1，2，3，4，5，…，

　　这叫做自然数。

　　用自然数来数物件，看来简单，但是却包含了一些数学中经常用到的基本原则。例如，一 一对应的概念，先后次序的概念等等。特别值得注意的是，这是数学中第一个用抽象符号来处理具体事物的例子。拿任何实物做标准(如手指、算珠)，都有穷尽的可能，而自然数系却可以说明一切可以数得完的客观事物的件数。

　　但是，如果真的要创造出无穷个符号来表达自然数，那不仅不方便而且也不可能。这样就产生了计数法。这方法是用有限个数字来表达一切自然数。我们熟悉的是十进位的表达法，即逢十进一的方法。左边的一算作右边一位的十，这样我们就有可能用

　　0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　来表达一切自然数了。

　　人类大都是用十进位，可能是因为人有十个指头。开始计数时是以指头做标准的。实质上，符号用得最少的要算二进位，只要用0和1就可以表达出一切自然数来。二进位就是逢二进一。用二进位表示自然数贯，可以依次写成为

　　1，10，11，100，101，110，111，1000，…。

　　书写时二进位较长，例如，二进位的四位数字1000仅代表十进位的8。一般讲来，一个数字用二进位的位数是用十进位的位数的三倍以上(约3.3倍)。”

　　关于分数，有这样的一段原文：

　　“我们并不能把任何分数都表为有限小数。例如，

　　就是一个无穷小数。但是我们知道，有理数的小数表达是有特殊形式的，就是所谓循环小数。我们也知道，凡是循环小数都能表成有理数，特别需要注意的是循环小数

　　0.999…

　　实质上代表1。”

　　我们要特别注意最后一句话：“凡是循环小数都能表成有理数，特别需要注意的是循环小数0.999…，实质上代表1”。大家可以思考下，可尝试用一元一次方程的知识，加上一点技巧，看能否把任何一个无限循环小数转化为分数，以及能否得出“0.999…=1”的结论。

　　作者|裴连学

　　公众号：摄与学

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