中考数学模拟试题及答案

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  数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学性的学科

  模拟试卷

  一.选择题(共10小题,满分30分)

  1.|1﹣ |=(  )

  A.1﹣ B. ﹣1 C.1+ D.﹣1﹣

  2.工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书(2018)》)显示,2017年湖北数字经济总量1.21万亿元,列全国第七位、中部第一位.“1.21万”用科学记数法表示为(  )

  A.1.21×103 B.12.1×103 C.1.21×104 D.0.121×105

  3. 下列运算正确的是(  )

  A.m6÷m2=m3 B.(x+1)2=x2+1 C.(3m2)3=9m6 D.2a3•a4=2a7

  4.在下列四个标志中,既是中心对称又是轴对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  5.如图,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于(  )

  A.132° B.134° C.136° D.138°

  6.如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体,从左面看几何体得到的图形是(  )

  A. B.

  C. D.

  7.解分式方程 + =3时,去分母后变形正确的是(  )

  A.2+(x+2)=3(x﹣1) B.2﹣x+2=3(x﹣1)

  C.2﹣(x+2)=3 D.2﹣(x+2 )=3(x﹣1)

  8.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(  )(结果保留小数点后两位)(参考数据: ≈1.732, ≈1.414)

  A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里

  9.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(  )

  A.y= B.y= C.y=3x+2 D.y=x2﹣3

  10.如图,A、B、C、D是⊙O上的四点,BD为⊙O的直径,若四边形ABCD是平行四边形,则∠ADB的大小为(  )

  A.60° B.45° C.30° D.25°

  二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)

  11.若x=2是方程8﹣2x=ax的解,则a=   .

  12.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为 ,则黄球的个数为   .

  13.函数y= 的自变量x的取值范围为   .

  14.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,则BC=   cm

  15.如图, AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO与⊙O 交与点C,BD为⊙O的直径,连接CD,若∠A=30°,OA=2,则图中阴影部分的面积为   .

  16.矩形纸片ABCD, AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为   .

  三.解答题(共9小题,满分72分)

  17.(6分)如果(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.

  求 的值.

  18.(6分)某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,这两种水果的进价、售价如表所示:

  进价(元/千克) 售价(元/千克)

  甲种 5 8

  乙种 9 13

  (1)这两种水果各购进多少千克?

  (2)若该水果店按售价销售完这批水果,获得的利润是多少元?

  19.(6分)在今年“五•一”小长假期间,某学校团委要求学生参加一项社会调查活动,八年级学生小明想了解他所居住的小区500户居民的家庭收入情况,从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况(收入取整数,单位:元),并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图,根据图中提供的信息,解答下列问题:

  (1)这次共调查了   个家庭的收入,a=   ,b=   ;

  (2)补全频数分布直方图,样本的中位数落在第   个小组;

  (3)请你估计该居民小区家庭收入较低(不足1000元)的户数大约有多少户?

  (4)在第1组和第5组的家庭中,随机抽取2户家庭,求这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率.

  20.(6分)如图,在▱ABCD中,过B点作BM⊥AC于点E,交CD于点M,过D点作DN⊥AC于点F,交AB于点N.

  (1)求证 :四边形BMDN是平行四边形;

  (2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.

  21.(7分)如图,直线y=kx+ 2与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0)和点B,与反比例函数y= 的图象在第一象限内交于点C(1,n).

  (1)求一次函数y=kx+2与反比例函数y= 的表达式;

  (2)过x轴上的点D(a,0)作平行于y轴的直线l(a>1),分别与直线y=kx+2和双曲线y= 交于P、Q两点,且PQ=2QD,求点D的坐标.

  22.( 7分)如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE.

  (1)求证:直线PD是⊙A的切线;

  (2)若PC=2 ,sin∠P= ,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).

  23.(10分)某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:

  (1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

  (2)当降价多少元时 ,每星期的利润最大?最大利润是多少?

  24.(11分)正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.

  (1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是   ;

  (2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;

  (3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.

  25.(13分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,OB=3,顶点为D,对称轴交x轴于点Q.

  (1)求抛物线对应的二次函数的表达式;

  (2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标;

  (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.

  模拟试卷答案

  一.选择题

  1.B.

  2.C.

  3.D.

  4.C.

  5.B.

  6.A.

  7.D.

  8.B.

  9.B.

  10.C.

  二.填空题

  11.2.

  12.4.

  13.x≤3.

  14. .

  15. ﹣ .

  16.6 或2 .

  三.解答题

  17.解:∵(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.

  ∴(y﹣z)2﹣(y+z﹣2x)2+(x﹣y)2﹣(x+y﹣2z)2+(z﹣x)2﹣(z+x﹣2y)2=0,

  ∴(y﹣z+y+z﹣2x)(y﹣z﹣y﹣z+2x)+(x﹣y+x+y﹣2z)(x﹣y﹣x﹣y+2z)+(z﹣x+z+x﹣2y)(z﹣x﹣z﹣x+2y)=0,

  ∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0,

  ∴(x﹣y)2+(x﹣z)2+(y﹣z)2=0.

  ∵x,y,z均为实数,

  ∴x=y=z.

  ∴ = =1.

  18.解:(1)设购进甲种水果x千克,则购进乙种水果(140﹣x)千克,根据题意得:

  5x+9(140﹣x)=1000,

  解得:x=65,

  ∴140﹣x=75.

  答:购进甲种水果65千克,乙种水果75千克;

  (2)3×65+4×75=495(元)

  答:利润为495元.

  19.解:(1)2÷5%=40(个),所以这次共调查了40个家庭;]

  a=6÷40=15%,

  第三组的家庭个数=40×45%=18(个),

  b=(40﹣2﹣6﹣18﹣9﹣2)÷40=7.5%,

  (2)第20个数和第21个数都落在第三组,所以样本的中位数落在第三个小组,

  如图,

  故答案为40,15%,7.5%;三;

  (3)500×(5%+15%)=100(户),

  所以估计该居民小区家庭收入较低(不足1000元)的户数大约有100户;

  (4)设第1组的2户用A、B表示,第5组的3户用a、b、c表示,

  画树状图为:

  共有20种等可能的结果数,其中这两户家庭人均月收入差距不超过200元的结果数为8,

  所以这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率= = .

  20.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

  ∴CD∥AB,

  ∵BM⊥AC,DN⊥AC,

  ∴DN∥BM,

  ∴四边形BMDN是平行四边形;

  (2)解:∵四边形BMDN是平行四边形,

  ∴DM=BN,

  ∵CD=AB,CD∥AB,

  ∴CM=AN,∠MCE=∠NAF,

  ∵∠CEM=∠AFN=90 °,

  ∴△CEM≌△AFN,

  ∴FN=EM=5,

  在Rt△AFN中,AN= = =13.

  21.解:(1)把A(﹣1,0)代入y=kx+2得﹣k+2=0,解得k=2,

  ∴一次函数解析式为y=2x+2;

  把C(1,n)代 入y=2x+2得n=4,

  ∴C(1,4),

  把C(1,4)代入y= 得m=1×4=4,

  ∴反比例函数解析式为y= ;

  (2)∵PD∥y轴,

  而D(a,0),

  ∴P(a,2 a+2),Q(a, ),

  ∵PQ=2QD,

  ∴2a+2﹣ =2× ,

  整理得a2+a﹣6=0,解得a1=2,a2=﹣3(舍去),

  ∴D(2,0).

  22.解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H.

  ∵四边形ABCD是矩形,

  ∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,

  ∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,

  又∵PD=BC,

  ∴AD=PD,

  ∴△ADH≌△DPC,

  ∴AH=CD.

  ∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,

  ∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,

  ∴PD是⊙A的切线.

  (2)如图,在Rt△PDC中,sin∠P= = ,PC=2 ,

  令CD=2x,PD=3x,由勾股定理得:(3x)2﹣(2x)2=(2 )2.

  解得:x=2,

  ∴CD=4,PD=6,

  ∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,

  ∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为 ×4×2=4,

  扇形ABE的面积为 π×42=4π.

  ∴图中阴影部份的面积为24﹣4﹣4π=20﹣4π.

  23.解:(1)根据题意得y=(70﹣x﹣50)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000,

  ∵70﹣x﹣50>0,且x≥0,

  ∴0≤x<20;

  (2)∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣ )2+6125,

  ∴当x= 时,y取得最大值,最大值为6125,

  答:当降价2.5元时,每星期的利润最大,最大利润是6125元.

  24.

  解:(1)如图1,连接BE, ,

  在正方形ABCD中,

  AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,

  ∵点E是DC的中点,DE=DF,

  ∴点F是AD的中点,

  ∴AF=CE,

  在△ABF和△CBE中,

  ∴△ABF≌△CBE,

  ∴∠1=∠2,

  ∵EH⊥BF,∠BCE=90°,

  ∴C、H两点都在以BE为直径的圆上,

  ∴∠3=∠2,

  ∴∠1=∠3,

  ∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,

  ∴∠4=∠HBC,

  ∴CH=BC,

  又∵AB= BC,

  ∴CH=AB.

  故答案为:CH=AB.

  (2)当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论CH=A B仍然成立.

  如图2,连接BE, ,

  在正方形ABCD中,

  AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,

  ∵AD=CD,DE=DF,

  ∴AF=CE,

  在△ABF和△CBE中,

  ∴△ABF≌△CBE,

  ∴∠1=∠2,

  ∵EH⊥BF,∠BCE=90°,

  ∴C、H两点都在以BE为直径的圆上,

  ∴∠3=∠2,

  ∴∠1=∠3,

  ∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,

  ∴∠4=∠HBC,

  ∴CH=BC,

  又∵AB=BC,

  ∴CH=AB.

  (3)如图3, ,

  ∵CK≤AC+AK,

  ∴当C、A、K三点共线时,CK的长最大,

  ∵∠KDF+∠ADH=90°,∠HDE+∠ADH=90°,

  ∴∠KDF=∠HDE,

  ∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°,

  ∠DFK+∠DFH=180°,

  ∴∠DFK=∠DEH,

  在△DFK和△DEH中,

  ∴△DFK≌△DEH,

  ∴DK=DH,

  在△DAK和△DCH中,

  ∴△DAK≌△DCH,

  ∴AK=CH

  又∵CH=AB,

  ∴AK=CH=AB,

  ∵AB=3,

  ∴AK=3,AC=3 ,

  ∴CK=AC+AK=AC+AB= ,

  即线段CK长的最大值是 .

  25.解:(1)∵OA=1,OB=3,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0).

  代入y=﹣x2+bx+c,得

  解得 b=2,c=3.

  ∴抛物线对应二次函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3;

  (2)如图,设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA,作CF⊥DQ于点F.

  ∴PE⊥CD,PE=PA.

  由y=﹣x2+2x+3,得

  对称轴为直线x=1,C(0,3)、D(1,4).

  ∴DF=4﹣3=1,CF=1,

  ∴DF=CF,

  ∴△DCF为等腰直角三角形.

  ∴∠CDF=45°,

  ∴∠EDP=∠EPD=45°,

  ∴DE=EP,

  ∴△DEP为等腰三角形.

  设P(1,m),

  ∴EP2= (4﹣m)2.

  在△APQ中,∠PQA=90°,

  ∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2

  ∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.

  整理,得m2+8m﹣8=0

  解得,m=﹣4±2 .

  ∴点P的坐标为(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).

  (3)存在点M,使得△DCM∽△BQC.

  如图,连结CQ、CB、CM,

  ∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,

  ∴△COB为等腰直角三角形,

  ∴∠CBQ=45°,BC=3 .

  由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,

  ∴∠CBQ=∠CDM.

  ∴△DCM∽△BQC分两种情况.

  当 = 时,

  ∴ = ,解得 DM= .

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .

  ∴M1(1, ).

  当 时,

  ∴ = ,解得 DM=3.

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.

  ∴M2(1,1).

  综上,点M的坐标为(1, )或(1,1).

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